Эпюры внутренних усилий

внутренние усилия

Анализируя рассмотренные выше примеры, видим, что значение внутренних усилий меняется при переходе от одного сечения к другому. При расчете стержня на прочность необходимо будет определить наибольшее значение внутренних усилий. Если конструкция имеет по всей длине постоянную жесткость, то сечения стержня, в которых внутренние усилия достигают наибольших значений, называются опасными.

Определить положения опасных сечений проще всего, построив графики распределения внутренних усилий вдоль оси стержня. Такие графики называются эпюрами.

Существуют два метода построения эпюр – аналитический метод и метод характерных сечений.

Сущность аналитического метода заключается в том, что для установления закона изменения внутренних усилий по длине бруса составляют их аналитические выражения в виде функций, зависящих от координаты Z, т.е. от положения сечения.

После того, как составлены выражения, координатам Z дают последовательно конкретные значения, мысленно перемещая сечение, и вычисляют соответствующие значения (ординаты) внутренних усилий, откладывая их в принятом масштабе. Таким образом, эпюры представляют собой графики изменения функций внутренних усилий вдоль длины стержня.

Аналитический метод построения эпюр подробно рассмотрен во всех учебниках по сопротивлению материалов, поэтому в статьях на сайте будет рассмотрен только второй метод – метод характерных сечений. Этот метод позволяет максимально сократить и упростить процесс построения эпюр.

Дифференциальные зависимости между внешними нагрузками и внутренними усилиями

Рассматривая условия равновесия элемента прямолинейного стержня можно установить, что между внутренними усилиями и интенсивностью внешних нагрузок существуют следующие дифференциальные зависимости (рис. 1.21–1.24):

Выражения (1.1) – (1.6) представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Запишем их решения, предполагая, что нагрузки qZ, qY, qX и m распределены равномерно, то есть qZ, qY, qX, m = const. Тогда получим

Анализируя выражения (1.7), можно сделать следующие выводы:

  1. Если на участке стержня действует равномерно распределенная нагрузка qZ(qY, qX, m), то внутренние усилия N(QY, QX, MZ) меняются на этих участках по закону прямой линии, а изгибающие моменты MX(MY) – по закону квадратной параболы.
  2. Если на участке стержня распределенная нагрузка отсутствует, то есть (qZ, qY, qX, m) =0, то внутренние усилия N(QY, QX, MZ) на этих участках являются постоянной величиной, а изгибающие моменты MX(MY) меняются по линейному закону.

Таким образом, функции, описывающие характер изменения того или иного внутреннего усилия, можно установить по виду внешней нагрузки. Это обстоятельство положено в основу метода характерных сечений.

Виды деформаций стержня

В общем случае нагружения стержня в его сечении возникает шесть внутренних усилий – N, QY, QX, MZ, MX, MY.

Однако в реальных условиях нагружения могут встретиться случаи, когда некоторые внутренние усилия равны нулю. Такие виды деформации называются простыми.

Назовем некоторые из них:

Все внешние силы лежат на продольной оси стержня (рис. 1.21). В этом случае только N ≠ 0, а все остальные внутренние усилия равны нулю. Этот вид деформации называется осевым растяжением-сжатием.

Все внешние силы действуют перпендикулярно оси стержня: или только в вертикальной плоскости (рис. 1.22), или только в горизонтальной плоскости (рис. 1.23). В этом случае отличны от нуля или только QY, MX, или только QX, MY; остальные внутренние усилия равны нулю. Этот вид деформации называется плоским изгибом.

Все внешние силы создают пары сил относительно оси Z (рис.1.24). В этом случае только MZ ≠ 0, остальные внутренние усилия отсутствуют, вид деформации называется кручением.

Таким образом, по виду внешнего нагружения стержня можно определить вид деформации стержня, и, следовательно, выяснить, сколько и каких именно эпюр следует строить для рассматриваемого стержня.

Метод характерных сечений

Основываясь на выводах, сделанных в пунктах 1.12 и 1.13, можно сформулировать план построения эпюры внутреннего усилия с помощью метода характерных сечений

  1. Определяем вид деформации стержня с тем, чтобы выяснить, эпюру каких именно внутренних усилий следует построить в данной задаче (см.пункт 1.13).
  2. Проводим базисную линию—линию, параллельную оси стержня, от которой будем откладывать полученные значения внутреннего усилия.
  3. Разбиваем стержень на участки, в пределах которых внешняя нагрузка не изменяется; они называются участками нагружения.
  4. Определяем внутреннее усилие в начале и конце каждого участка (см.пункт 1.9) и откладываем полученные значения от базисной линии.
  5. Соединяем отложенные от оси значения соответствующими линиями (см. пункт 1.12).
  6. На полученной таким образом эпюре ставим знак, штрихуем ее (штриховка всегда перпендикулярна базисной линии) и обозначаем.
  7. Проверяем эпюру. Проверка эпюры состоит из двух этапов:

а) проверка по дифференциальным зависимостям: еще раз проверяем, соответствует ли полученный график закономерностям, изложенным в пункте 1.12;


б) проверка по скачкам: можно показать, что в тех сечениях, где приложены внешние сосредоточенные силы, на эпюрах соответствующих внутренних сил N(QY, QX) появляются скачки (ступеньки) на величину внешней силы.

В сечениях, где приложены внешние сосредоточенные моменты на эпюрах соответствующих моментов MZ(MX, MY) появляются скачки на величину приложенного внешнего момента. Для проверки эпюр удобно воспользоваться схемой 1.1.

Такова общая схема построения эпюры любого внутреннего усилия с помощью метода характерных сечений. Отдельные особенности, касающиеся эпюр конкретных внутренних усилий, рассмотрены по этой ссылке при решении конкретных примеров.