Нагрузки, связи, перемещения

Основные задачи сопротивления материалов

Тело должно быть прочным, то есть не должно разрушаться под внешними воздействиями.

Тело должно быть жестким, то есть не должно слишком сильно деформироваться под внешними воздействиями.

Тело должно быть устойчивым, то есть должно сохранять заданную форму равновесия.

Объекты изучения сопротивления материалов

В любой науке и учебной дисциплине, которые называются «точными» и в которых используются аналитические методы описания состояний и явлений, не обойтись без моделей. В сопротивлении материалов при решении различных задач мы каждый раз будем выбирать для рассматриваемого объекта расчетную схему.

Расчетная схема – это упрощенная схема конструкции или ее элементов, освобожденная от несущественных в данной задаче особенностей.

Основным объектом изучения в курсе сопротивления материалов является стержень (брус) — элемент, длина ℓ которого значительно превосходит два других размера (характерные размеры поперечного сечения b и h). (Рис. 1.1).

Рисунок 1.1

Многие сложные конструкции можно представлять состоящими из элементов, имеющих форму стержня. Их называют стрежневыми системами.

Линию, проходящую через центры тяжести поперечных сечений, называют осью стержня. В свою очередь поперечное сечение всегда перпендикулярно оси. В зависимости от формы оси стержень может быть прямым, кривым или пространственно-изогнутым.
Наиболее часто в строительной практике встречаются стержни с прямолинейной осью (прямой брус).
К особой категории относят тонкостенные стержни, у которых размеры элементов поперечного сечения имеют разный порядок (прокатные профили: двутавры, швеллеры, уголки и т. п.)
В зависимости от назначения и роли, выполняемой стержнем в конструкции, различают:

В зависимости от назначения и роли, выполняемой стержнем в конструкции, различают:

  • колонны и стойки – вертикальные стержни, работающие преимущественно на сжатие;
  • балки – стержни, работающие на изгиб;
  • подвески, затяжки, оттяжки – стержни, воспринимающие осевые растягивающие усилия;
  • валы – стержни, испытывающие кручение.

Нагрузки

Все усилия, участвующие в работе бруса, делятся на внешние и внутренние. К внешним силам относятся заданные нагрузки, а также вызываемые ими опорные реакции. Нагрузки, с которыми приходится иметь дело в сопротивлении материалов, представляют собой силы или пары сил. Они могут быть сосредоточенными или распределенными по длине, поверхности (рис. 1.2) или объему.

В практических расчетах все внешние нагрузки переносят на ось стержня (рис. 1.3).
Рисунок 1.3

Размерность нагрузок:

  1. сосредоточенные нагрузки:
  • а) силы F (с компонентами Fх, Fy, Fz) измеряются в единицах силы –ньютон (Н), килоньютон (кН);
  • б) пары сил (с компонентами Мx, My, Mz) измеряются в единицах силы, умноженных на единицу длины: Н⋅м, кН⋅м.

2) Распределенные нагрузки:

  • а) объемно-распределенные нагрузки с интенсивностью f (fx, fy, fz)имеют размерность [F/ℓ3]: Н/м3, кН/м3;
  • б) поверхностно-распределенные с интенсивностью р (с компонентами px, py, pz) имеют размерность [F/ℓ2]: Н/м2, кН/м2;
  • в) линейно-распределенные с интенсивностью q (с компонентами qx, qy, qz) имеют размерность [F/ℓ]: Н/м, кН/м;
  • г) распределенные пары сил с интенсивностью m (с компонентами mx, my, mz) имеют размерность силы: Н; кН.

По продолжительности действия нагрузки делятся на постоянные, действующие в течение всего периода эксплуатации конструкции (например, собственный вес), и временные, действующие на протяжении лишь некоторого промежутка времени (например, атмосферные нагрузки – снеговая и ветровая, вес людей и оборудования).

По характеру действия различают нагрузки статические, прилагаемые к брусу настолько медленно, что можно пренебречь вызываемыми ими ускорениями перемещений частиц бруса, и динамические, связанные с возникновением больших ускорений. В дальнейшем будем рассматривать статическое нагружение стержня.

Связи

Для обеспечения неподвижности одного тела относительно другого в одной плоскости необходимо наличие трех связей в виде шарнирно закрепленных, не пересекающихся в одной точке и не параллельных друг другу стержней. В связи с этим различают три вида опор.

  1. жесткое защемление или жесткая заделка, которая сводится к наложению на этот конец трех связей (рис.1.4,а);
  2. шарнирно-неподвижная опора, равносильная наложению двух связей (рис.1.4,б, точка В);
  3. шарнирно-подвижная опора, равносильная наложению одной связи (рис. 1.4,б, точка D).

Перемещения и деформации в точке тела

Тело под воздействием прикладываемых к нему сил меняет свои размеры и форму, или, как говорят, деформируется. При деформации меняется относительное расположение отдельных частиц тела вследствие их перемещения в пространстве.

Рассмотрим упругое тело и возьмем в нем произвольную точку M(x,y,z), которая после приложения
внешних нагрузок переместится в т.M1.

Вектор ММ𝟏 называется перемещением т.М. Вектор ММ𝟏 можно разложить на составляющие по координатным осям X, Y, Z, которые принято обозначать буквами u,v,w, соответственно.

Возьмем теперь в упругом теле две точки М и К так, чтобы отрезок МК был параллелен , например, оси X. Допустим, что после приложения нагрузки точка М переместилась в точку М’, а точка К – в точку К’, причем отрезок M’K’ параллелен отрезку МК.

Величина

называется относительной линейной деформацией в т.М в направлении оси X. Аналогично вводятся относительные линейные деформации εy,εz. Относительная линейная деформация характеризует изменение размеров тела. Она положительна при увеличении размеров и отрицательна при их уменьшении.

Эта деформация является безразмерной величиной.

Возьмем теперь в упругом теле три точки М, К, L так, чтобы отрезок MK был параллелен оси X, а отрезок ML был параллелен оси Z, т. е. угол LMK – прямой. Допустим, что после приложения нагрузки точка М осталась на месте, точка К переместилась в точку К’, а точка L — в точку L’.
Таким образом, образовался новый угол L’MK’.

Величина, равная изменению первоначально прямого угла

называется сдвигом или угловой деформацией в т.М между направлениями Z и X. Аналогично вводятся угловые деформации 𝛄𝐳𝐲 , 𝛄𝐱𝐲 . Угловая деформация характеризует изменение формы тела. Эта деформация измеряется в радианах.

Основные гипотезы сопротивления материалов

Гипотеза идеальной упругости

После снятия внешней нагрузки тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму.

Гипотеза об однородности и изотропности материала

Материал предполагается однородным и изотропным, если в любом объеме и в любом направлении механические свойства материала одинаковы.

Гипотеза о сплошности строения тела

Тело, сплошное и непрерывное до деформации, остается сплошным и непрерывным (т. е. без пустот и разрыв) и после деформации.

Гипотеза о линейной зависимости нагружений и перемещений

Перемещения точек упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.

Гипотеза о независимости действия сил (принцип суперпозиции)

Конечное напряженное и деформированное состояние тела не зависит от того, в какой последовательности прикладываются к этому телу силы.

Гипотеза об естественном ненапряженном и недеформируемом состоянии тела

Пока к телу не приложены внешние силы, оно находится в ненапряженном и недеформируемом состоянии.

Гипотеза о жесткости тела

Перемещения точек тела весьма малы по сравнению с размерами самого тела. Деформации, возникающие в теле, много меньше единицы.

Метод сечений. Напряжения