Метод сечений. Напряжения

Нагрузки, связи, перемещения

Как известно из физики твердого тела, между частицами тела существуют связи, соединяющие части тела и обеспечивающие его целостность. Для иллюстрации описанного ниже процесса можно мысленно представить эти связи в виде пружинок, соединяющих частицы тела (рис.1.5)

В ненагруженном теле эти связи себя не проявляют («пружинки» не работают) (рис.1.5а).

Приложенные внешние силы пытаются нарушить эти связи («пружинки», например, растягиваются(рис.1.5б)), материал сопротивляется этому – внутри тела возникают внутренние силы.
Эти силы, как правило, увеличиваются с увеличением внешней нагрузки. При достижении внутренними силами достаточно большой величины (для каждого материала своей), связи («пружинки») начинают рваться и тело разрушается (рис. 1.6).

Таким образом, чтобы оценить прочность тела, надо научиться определять величину внутренних сил. Делается это с помощью метода сечений.

В теоретической механике для определения реакции связей мы эти связи отбрасывали, заменяли их действие реактивными силами и составляли необходимые уравнения равновесия.

Точно также поступают и в сопротивлении материалов,только отбрасывают не внешнее тело
(опору или заделку), а часть самого тела (рис. 1.7а). Затем заменяют действие отброшенной части внутренними силами (рис. 1.7б).

Поскольку внутренние силы связывают между собой частицы одной части тела (оставшейся) и другой (отброшенной), то очевидно, что они распределены по всему сечению, и, как правило, неравномерно (в разных точках сечения они разные по величине и направлению).

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру. За такую меру принимается интенсивность внутренних сил или напряжение в точке тела, которое стало одним из важнейших понятий механики. Оно вводится следующим образом.
Выделим вокруг произвольной точки М сечения элементарную площадку ΔА. Ввиду малости этой площадки можно считать, что внутренние силы, попавшие на эту площадку, распределены по ней равномерно. Найдем их равнодействующую ΔР (рис. 1.8).

Величина Р, определяемая выражением

называется полным напряжением в т.М . Другими словами, напряжением называется величина внутренних сил, приходящаяся на единицу площади.

При решении задач вместо полного напряжения удобнее пользоваться его проекциями. Проекция полного напряжения на нормаль к сечению называется нормальным напряжением и обозначается буквой σ (сигма) (рис. 1.9а).

Проекция полного напряжения на плоскость сечения называется касательным напряжением и обозначается буквой 𝛕 (тау) (рис. 1.9а).

Касательные напряжения можно, в свою очередь, разложить по координатным осям (рис. 1.9б).

Представим стержень состоящим из бесконечного количества бесконечно тонких продольных волокон. Можно считать, что к каждому продольному волокну приложено свое нормальное и свое касательное напряжение (рис. 1.10).

При этом нормальные напряжения растягивают или сжимают продольные волокна (рис1.10). Касательные напряжения сдвигают их (рис. 1.11):

В теоретической механике неизвестные реакции определяются из уравнений равновесия. Однако, определить напряжения методами статики невозможно, так как они распределены по всему сечению, причем в общем случае неравномерно.

В сопротивлении материалов эту проблему решают, вводя понятие внутренних усилий.

Внутренние усилия