Законы Кирхгофа

Понятие о компонентных и топологических уравнениях

Компонентными называются уравнения, описывающие зависимость между током и напряжением на элементах электрической цепи.

Топологическими называются уравнения, вид которых определяется структурой цепи. Топологическими являются уравнения, составленные по законам Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю (рис. 1).

Пример применения первого закона Кирхгофа иллюстрируется на рис. 1.

При записи уравнения по первому закону Кирхгофа ток, входящий в узел, берется со знаком «плюс», а выходящий – со знаком «минус». Первый закон Кирхгофа следует из закона сохранения электрического заряда.

Второй закон Кирхгофа:

сумма мгновенных значений падений напряжений при обходе некоторого замкнутого контура электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре.

Пример применения второго закона Кирхгофа иллюстрирует рис. 2.

Второй закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения энергии

Электрическая схема. Основные определения.

Часть цепи, по которой протекает один и тот же ток, называется ветвью электрической цепи. Место соединения нескольких ветвей называется узлом. Различают вырожденные и невырожденные узлы. Вырожденным называется узел, в который входят только две ветви. Путь для протекания тока по нескольким ветвям, у которого начальные и конечные точки совпадают, называется контуром.

Пример неразветвленной и разветвленной цепей приведен на рис. 3.

Последовательное и параллельное соединение элементов представлено на рис. 3. Для последовательного соединения элементов из первого закона Кирхгофа вытекает равенство:

Для параллельного соединения элементов из второго закона Кирхгофа следует равенство:

При рассмотрении электрической цепи в ней выделяют ветви, узлы и контуры – топологические элементы. В каждой ветви задают свое направление и присваивают номер. Узлы также пронумеровывают, контуры нумеруются, и в них задаётся направление обхода. Направления в ветвях задают условно положительные направления токов и напряжений в элементах, включенных в данные ветви (рис. 4).

Узлы обозначаются цифрами в скобках, начиная с нулевого. Ветви обозначаются по номеру тока. Контуры обозначаются римскими цифрами, и в них задаётся направление обхода. Для анализа цепи составляется система уравнений электрического равновесия, состоящая из компонентных и топологических уравнений. Неизвестными величинами являются токи и напряжения на элементах. В результате решения системы уравнений они определяются.

Все топологические уравнения, которые можно составить для данной цепи, образуют систему линейно-зависимых уравнений. Для выделения линейно-независимой системы топологических уравнений требуется выделить систему линейно-независимых узлов и линейно-независимых контуров, для которых потом и составляются уравнения. Задача выделения системы линейно-независимых узлов и контуров решается в разделе электротехники, называемом топологией цепей.

Топологический граф цепи

Граф – совокупность отрезков произвольной длины и формы, называемых ветвями (ребрами), и точек их соединения, называемых узлами (вершинами). Если ветвям задастся направление, то получается направленный (ориентированный) граф. Направленный топологический граф — это упрошенная модель электрической цепи, описывающая только её топологические (структурные) свойства. Свойства графа определяются числом ветвей p, числом узлов q и способом соединения ветвей.

Различают расширенный и сокращенный графы электрической цепи. Расширенное описание цепи включает учет вырожденных узлов. Сокращенное описание цепи включает только невырожденные узлы.

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 5).

Расширенное и сокращенное описание цепи приведено на рис. 6.

Если узел  i является концом ветви j, то говорят, что они инцидентны.

Подграф – часть графа, которая содержит подмножество ветвей графа и все инцидентные им узлы. Степень узла –это число инцидентных ему ветвей.

Планарный (плоский) граф – это такой граф, который в результате преобразований может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей. Непланарный (объемный) граф не может быть изображен на плоскости без пересечения ветвей.

Путь – это подграф, являющийся последовательностью соединенных между собой ветвей выбранных таким образом, что каждому узлу, за исключением двух граничных, инцидентны две ветви, а граничным узлам инцидентны по одной ветви. Каждая ветвь и каждый узел встречаются только один раз. Контуром называется замкнутый путь, у которого начальные и конечные узлы совпадают.

Деревом графа называется подграф, включающий все узлы графа, но не содержащий ни одного контура. На рис. 7 приведен пример графа и двух различных деревьев

Ветви дерева – ветви графа, входящие в дерево. Ветви, не вошедшие в дерево, называются главными. Если имеется схема, содержащая p ветвей и  q узлов, то тогда число ветвей дерева 

Число главных ветвей 

Добавление любой главной ветви к дереву образует контур. Контуры, образованные поочередным добавлением к дереву графа его главных ветвей, называются главными контурами. Число главных контуров равно числу главных ветвей. Каждому главному контуру присваивают номер и приписывают ориентацию (направление обхода), совпадающую с номером и ориентацией соответствующей главной ветви.

Любая совокупность из  (q-1) узлов является системой линейно независимых узлов. Система главных контуров дает возможность записать систему линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа.

Топологические матрицы

1. Полная матрица узлов (структурная матрица).

Пусть задан топологический граф некоторой цепи на рис. 8.

В топологической матрице число строк равно числу узлов, а число столбцов равно числу ветвей. Если ветвь выходит из узла, ставится +1, если входит – то -1, если ветвь не инцидентна, то ставится 0.

Матрица обладает следующим свойством: сумма цифр по столбцам равна нулю. Матрица позволяет записать систему уравнений по первому закону Кирхгофа в матричной форме:

Чтобы получить систему линейно независимых уравнений, используют сокращенную матрицу узлов. Она получается из полной матрицы вычеркиванием одной строки (чаще вычеркивают базовый (0) узел).

2. Матрица главных контуров.

Для построения матрицы главных контуров сначала выделяют дерево графа. Оно содержит все узлы схемы (см. рис. 9).

Главные ветви – первая, третья и четвертая. В итоге получаем три главных контура. Число строк в матрице равняется числу главных контуров, число столбцов равно числу ветвей. Если ориентация ветви совпадает с ориентацией контура, то ставится +1. Если ориентация противоположна, ставится -1. Если ветвь не входит в контур, то ставится 0.

Строки в матрице линейно независимы. Данная матрица позволяет записать систему линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа.

Классификация электрических цепей

Основная классификация электрических цепей производится по виду дифференциального уравнения цепи. Алгоритм анализа цепи заключается в следующем.

Пусть цепь состоит из  p ветвей и  qузлов. При анализе цепи составляется система дифференциальных уравнений. Количество неизвестных составляет 2p (для каждой ветви – один ток и одно напряжение, а всего ветвей — p). Количество уравнении также равно 2p , (q-1)– уравнений получаем по первому закону Кирхгофа, – (p-q+1) по второму закону Кирхгофа,  p компонентных уравнений (зависимости между i и u ).В результате решения система уравнений электрического равновесия сводится к одному дифференциальному уравнению с одним неизвестным, которое носит название дифференциального уравнения цепи. Степень этого дифференциального уравнения определяет степень электрической цепи.

Различают цепи с сосредоточенными параметрами (им соответствуют обыкновенные дифференциальные уравнения) и цепи с распределенными параметрами (им соответствуют дифференциальные уравнения с частными производными).

Цепями с сосредоточенными параметрами называются электрические цепи, в которых индуктивность L , емкость C , активное сопротивление R сосредоточены в катушке, конденсаторе и резисторе. Однако имеются электрические цепи, в которых индуктивность, емкость и активное сопротивление распределены по длине цепи, например, в линиях передачи электромагнитных колебаний (в двухпроводных линиях, в фидерах, в волноводах). Такие цепи называются цепями с распределенными параметрам или длинными линиями.

Различают линейные цепи (им соответствуют линейные дифференциальные уравнения) и нелинейные цепи (нелинейные дифференциальные уравнения).

Если величины R,L,C не зависят от электрического режима (от протекающих в них токах или приложенных напряжений) и остаются постоянными во времени, т. е. R,L,C=const, то элементы называются линейными. Соответственно и электрические цепи, содержащие только такие элементы, называются линейными. Процессы в линейных электрических цепях описываются линейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями с постоянными коэффициентами.

Если R,L,C  зависят от электрического режима, то элементы относятся к классу нелинейных, и цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент, будет уже нелинейной.

В нелинейных электрических цепях процессы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в которые неизвестная переменная – напряжение или ток и ее производные – входят нелинейно, т. е. не в первой степени, как в линейных уравнениях, а произвольно: в любой степени, в виде произведений, трансцендентных функций и т. д.

К числу линейных электрических цепей относятся и цепи с устройствами, параметры которых изменяются во времени по тем или иным законам. Подобные цепи называются параметрическими.

Различают также цепи с постоянными во времени параметрами (коэффициенты дифференциального уравнения постоянны) и так называемые параметрические цепи (коэффициенты зависят от времени).

Следует иметь в виду, что нет общих методов решения дифференциальных уравнений, описывающих процессы в нелинейных и параметрических цепях. В большинстве случаев для отыскания решений применяются приближенные методы, используются искусственные приемы, зачастую различного характера.

Задачи теории цепей

В дальнейшем будем изучать линейные цепи с сосредоточенными параметрами, постоянными во времени. Для таких цепей дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

Для таких цепей справедлив принцип суперпозиции: если на линейную цепь оказывается воздействие в виде линейной комбинации элементарных воздействий, то реакция цепи представляет собой такую же линейную комбинацию реакций на каждое из элементарных воздействий в отдельности.

Все задачи можно разделить на две группы.