Внутренние усилия

Предыдущая тема — метод сечений, напряжения

Систему внутренних сил, распределенных по сечению (в дальнейшем будем называть их напряжениями) (рис. 1.7б), приведем к главному вектору и главному моменту (рис. 1.12).

Разложим теперь главный вектор R и главный момент М на проекции по координатным осям. Оси выберем так: ось Z совместим с осью стержня, оси X u Y расположим в плоскости поперечного сечения (рис. 1.13).

Спроецировав главный вектор и главный момент на оси Х, Y, Z, получимишесть составляющих: три силы (N, QX, QY) и три момента (MZ, MX, MY) (рис.1.13). Эти составляющие называются внутренними силовыми факторами или внутренними усилиями в сечении стержня. Каждая составляющая имеет свое
название:

  • N – продольная (нормальная сила) – проекция главного вектора на ось Z;
  • QX, QY – поперечные (перерезывающие) силы – проекции главного вектора на оси X,Y;
  • MZ или Mk – крутящий момент – проекция главного момента на ось Z;
  • MX, MY – изгибающие моменты – проекции главного момента на оси X,Y.

Как следует из всего вышеизложенного, внутренние усилия являются, по сути, равнодействующими напряжений.

Определение внутренних усилий

При определении внутренних усилий применяют метод сечений:

  • Брус в интересующем месте мысленно рассекают на две части, плоскостью перпендикулярной оси стержня (рис. 7,а).
  • Одну часть отбрасывают.
  • Действие отброшенной части заменяют усилиями N, QX, QY, MZ, MX, MY (рис. 1.13).
  • Из условий равновесия оставшейся части определяют численное значение внутренних усилий.

Пример 1.1

Определить внутренние усилия в сечении А стержня, изображенного на рис. 1.14,а.

Рис.1.14

Решение:

Рассмотрим сначала сечение в т.А.

1). Рассечем стержень на две части и отбросим одну из них. Отбрасывать можно любую часть стержня,
но если стержень имеет жесткую заделку, то оставлять лучше ту часть, которая не содержит заделку.

2) Поместим в проведенном сечении систему координат X,Y,Z и покажем внутренние усилия N, QX,
QY, MZ, MX, MY, которые смогут возникнуть в данном сечении при отбрасыванииодной части стержня (рис. 1.14,б).

3) Запишем шесть уравнений статики и их решения:

Внутренние усилия в сечении А найдены.

Можно определять внутренние усилия намного проще и быстрее, если выписывать не уравнения статики, а сразу их решения. Для этого надо руководствоваться определенными правилами.

1 Продольная сила N в поперечном сечении прямого бруса равна сумме
проекций на его ось (Z) всех внешних сил, приложенных по одну сторону от
рассматриваемого сечения.

Рис.1.15

Правило знаков.
Проекция внешней силы, вызывающая растяжение оставшейся части, создает продольную силу положительного знака. Положительная продольная сила направлена от сечения, сжимающая – к сечению. (Рис. 1.15).

2 Поперечная сила Qу в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил, проецирующихся на ось Y, приложенных по одну сторону (левую или правую) от рассматриваемого сечения балки.

Рис.1.16

Правило знаков.

Внешняя сила, вызывающая вращение оставшейся части балки по ходу часовой стрелки вокруг проведенного сечения, вызывает в нем поперечную силу положительного знака. (Рис. 1.16).

3 Изгибающий момент МХ равен алгебраической сумме моментов всех внешних нагрузок, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения относительно оси Х. Поскольку ось Х перпендикулярна поперечному сечению, то фактически мы будем далее вычислять моменты сил относительно самого сечения (рис. 1.17).

Рис.1.17

Правило знаков. В пункте 1.7 мы ввели понятие продольных волокон. При действии на балку вертикальной силы длина этих волокон будет меняться.

Например, сила, изображенная на рис. 1.17. деформирует балку так, что волокна, находящиеся выше оси балки, становятся длиннее, а находящиеся ниже оси– короче. В таком случае говорят, что сила растягивает верхние волокна.

Изгибающий момент МХ положителен, если соответствующие внешние нагрузки растягивают нижние волокна (рис. 1.18).

Рис.1.18

Поперечная сила QX определяется аналогично силе QY, а изгибающий момент МY – аналогично моменту MX.

Крутящий момент MZ равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси Z.

Правило знаков.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали внешний закручивающий момент направлен по ходу часовой стрелки (рис. 1.19).

Пример 1.2.

Определить внутренние усилия в сечении В стержня, изображенного на рис. 1.14,а.

Рис.1.14

Решение:

Будем решать задачу, руководствуясь вышеизложенными правилами.

1) Проведем через т.В сечение и отбросим часть стержня с жесткой заделкой.
2) Поместим в сечение В систему координат (рис. 1.20).
3) Получим продольную силу N, суммировав все силы, лежащие на оси Z. При этом силу F3 берем со знаком «+», так как она растягивает продольные волокна, а силу F1 со знаком «-», так как она продольные волокна сжимает.


Силу QY получим, суммируя все силы, параллельные оси Y. Так как сила F2 поворачивает брус вокруг сечения В против часовой стрелки, берем ее со знаком «-».
𝑄𝑦 = −𝐹2 = −6кН

Сила QХ = 0, так как силы, параллельные оси Х, на стержень не действуют.

Крутящий момент МZ будет создавать только пара сил m. Если смотреть на сечение В со стороны оси Z, то направление пары сил m будет совпадать с направлением часовой стрелки, поэтому принимаем знак «+».

Изгибающий момент МХ будет возникать только от действия силы F2. Она растягивает нижние волокна, принимаем знак «+».


Силы, создающие момент относительно оси Y, на брус не действуют, по-
этому МY = 0.